Astronomi

Keakuratan Metode Laplace untuk menentukan elemen orbital

Keakuratan Metode Laplace untuk menentukan elemen orbital

Baru-baru ini saya harus menerapkan metode Laplace dan menerapkannya pada 3 pengamatan Mars (10 hari di antara dua pengamatan). Hasilnya cukup bagus, dengan perbedaan dengan data nyata jauh di bawah 5% di sebagian besar elemen orbital.

Saya kira metode Laplace sangat akurat, jadi saya mencoba menerapkannya ke asteroid (CASLEO, 5387). 3 pengamatan juga berjarak 10 hari tetapi sekarang hasilnya jauh berbeda dari elemen orbital yang sebenarnya.

Saya berharap itu menjadi kurang akurat daripada di kasus Mars karena pengamatan mencakup lebih sedikit fraksi orbit, tetapi beberapa elemen cukup jauh dari yang diharapkan.

Jadi pertanyaan saya adalah: Apa akurasi Metode Laplace? Apakah itu benar-benar sensitif terhadap jarak?


Pada prinsipnya, metode Laplace (dan metode Gauss) harus sangat akurat untuk menentukan orbit.

Tentu saja "sampah di sampah keluar" berlaku, dan jika pengamatannya tidak akurat, hasilnya mungkin juga tidak akurat. Namun, Anda seharusnya tidak mendapatkan perbedaan besar. Saya akan mempertimbangkan untuk memeriksa perhitungan Anda dengan cermat, dan mungkin membandingkan hasil Anda dengan penentuan orbital independen, untuk memeriksa kesalahan dalam matematika.


Keakuratan Metode Laplace untuk menentukan elemen orbit - Astronomi

Metode Laplace adalah standar untuk perhitungan orbit awal. Modifikasi tertentu meningkatkan kemanjurannya: mengurangi pengamatan, jika perlu, dengan menggunakan kriteria L1 menggunakan polinomial, yang urutannya ditentukan oleh kriteria impersonal, untuk menghitung turunan pertama dan kedua dari besaran pengamatan menggabungkan persamaan terpisah, satu untuk menentukan jarak heliosentris objek dan jarak geosentris lainnya, menjadi satu persamaan polinomial untuk jarak heliosentris, yang akarnya ditemukan oleh algoritma standar menggunakan rekursi untuk menghitung deret f dan g. Setidaknya satu koreksi diferensial direkomendasikan untuk meningkatkan akurasi elemen orbital yang dihitung. Masalah yang sulit, kurangnya konvergensi dari koreksi diferensial, misalnya, dapat ditangani dengan kuadrat terkecil total atau regresi punggungan. Metode ini pertama kali diterapkan untuk menghitung orbit awal Komet P/ 1846 D1 (de Vico) dari 59 pengamatan yang dilakukan selama lima hari pada tahun 1995 dan kemudian ke objek yang lebih sulit, planet minor tipe Amor 1982 DV (3288 Seleucus).


Keakuratan Metode Laplace untuk menentukan elemen orbit - Astronomi

Metode Laplace adalah standar untuk perhitungan orbit awal. Modifikasi tertentu, diringkas secara singkat, meningkatkan kemanjurannya. Setidaknya satu koreksi diferensial direkomendasikan, dan terkadang menjadi penting, untuk meningkatkan akurasi elemen orbital yang dihitung. Masalah yang sulit, kurangnya konvergensi dari koreksi diferensial, misalnya, dapat ditangani dengan kuadrat terkecil total atau regresi punggungan. Koreksi diferensial mewakili lebih dari sekedar mendapatkan kesepakatan yang lebih baik dengan pengamatan, tetapi sarana yang orbit yang memuaskan dapat dihitung. Metode ini diterapkan pada tiga contoh kesulitan yang berbeda: untuk menghitung orbit awal Komet 122/P de Vico dari 59 pengamatan yang dilakukan selama lima hari pada tahun 1995, penghitungan yang lebih sulit dari kemungkinan objek baru dengan distribusi pengamatan yang buruk Metode Herget gagal untuk contoh ini dan akhirnya objek yang sangat sulit, planet minor tipe Amor 1982 DV (3288 Seleucus). Untuk objek terakhir ini penggunaan regresi L 1 menjadi penting untuk menghitung orbit awal. Untuk orbit ini, metode Laplace lebih baik dibandingkan dengan metode Gauss.


Prosedur sederhana untuk memperluas metode Gauss dalam menentukan parameter orbital dari tiga ke tidak poin

Prosedur sederhana dikembangkan untuk menentukan elemen orbital dari suatu objek yang mengorbit di medan gaya pusat yang berkontribusi lebih dari tiga posisi langit independen. Dengan manipulasi metode penentuan orbit tiga titik Gauss formal, satu set awal vektor keadaan heliosentris r saya dan (dot>_) dihitung. Kemudian menggunakan fakta bahwa objek mengikuti jalur yang menjaga konstanta gerak tidak berubah, saya menurunkan besaran yang dilestarikan dengan menerapkan metode regresi linier sederhana pada vektor keadaan r saya dan (dot>_) . Bidang orbit terbaik ditetapkan dengan menerapkan prosedur iteratif yang meminimalkan variasi dalam besaran momentum sudut orbit. Prosedur yang sama digunakan untuk memperbaiki bentuk dan orientasi orbit pada bidang dengan meminimalkan variasi energi total dan vektor Laplace Runge Lenz. Metode ini diuji menggunakan data simulasi untuk planet hipotetis yang berputar mengelilingi matahari.

Ini adalah pratinjau konten langganan, akses melalui institusi Anda.


Elemen Orbital-Identifikasi metode

Saya sedang mencari buku yang memiliki metode untuk menghitung enam elemen orbital. Saya melampirkan halaman yang relevan. Pengetahuan saya tentang orbit hanya sebatas mengetahui arti dari keenam unsur tersebut. Yang ingin saya ketahui adalah dari mana persamaan ini berasal, dan apakah penulis benar ketika dia mengatakan, "e from (87) dan (88)" di bagian bawah halaman 39. Saya menduga maksudnya 86 dan 87.

Saya pernah mendengar tentang metode Gauss dan LaPlace untuk menentukan orbit. Apakah pendekatan yang diberikan salah satunya? Dia mencatat Herget sebagai sumber di bagian atas halaman 40. Saya memiliki akses ke sana, tetapi bukan masalah sederhana untuk menelusuri untuk menemukan pendekatan di halaman 40.


R. H. Bartels G. H. Golub (1968) Judul Artikel 'Algorithm 328: Solusi Chebyshev untuk sistem linier yang ditentukan lebih' komuni. ACM 11 428–430 Pegangan Kejadian 39 #2302

SEBUAH. Björck (1996) Metode Numerik untuk Soal Kuadrat Terkecil SIAM Philadelphia 101

R.L. Branham Suffix Jr. (1986) Judul Artikel 'Error Estimated with L1 solusi' terbaik. mekanisme 39 239–247 Pegangan Kejadian 1986CeMec..39..239B Pegangan Kejadian 88m:65065

R.L. Branham Suffix Jr. (1990) Analisis Data Ilmiah Springer New York

R.L. Branham Suffix Jr. (1995) Judul Artikel 'Regresi ortogonal multivariat dalam astronomi' terbaik. mekanisme 61 239–251 Pegangan Kejadian 10.1007/BF00051895 Pegangan Kejadian 1995CeMDA..61..239B Pegangan Kejadian 0821.62038 Pegangan Kejadian 88m:65065

R.L. Branham Suffix Jr. (1999) Judul Artikel 'Matriks kovarians untuk total kuadrat terkecil dengan data heteroskedastis' astronot. J 117 1942–1948 Pegangan Kejadian 1999AJ. 117.1942B

R.L. Branham Suffix Jr. (2001) Judul Artikel 'Pengurangan data astronomis dengan kuadrat terkecil total' Astron Baru. Putaran. 45 649–661 Pegangan Kejadian 2001NewAR..45.649B

R.L. Branham Suffix Jr. (2004) Penentuan orbit Laplacian' R. Teixeira N.V. Leister V.A.F. Martin P. Benevides-Soares (Eds) Astrometri di Amerika Latin: ADeLA Publ. Ser. 1 Univ. So Paulo So Paulo 97

R.L. Branham Suffix Jr. (2005) Judul Artikel ‘Orbit Komet 122P/ de Vico’ Pdt. astronot. Astrofia. 41 87 Penanganan Kejadian 2005RMxAA..41. 87B

H. Debehogne R.R. Mourao G. Vieira (1984) ArtikelJudul ‘Posisi komet Bowell (1982 b), asteroid 1982 DV dan 51 Nemausa, Maret 1982, dengan GPO, ESO-CHILE’ Acta Astronomica. 34 129–134 Pegangan Kejadian 1984AcA. 34..129D

H. Eichhorn (1990) ‘Memilih model yang tepat untuk penyesuaian pengamatan’ C. Jaschek F. Murtagh (Eds) Errors, Bias and Uncertainties in Astronomy Cambridge University press Cambridge 133-152

P. Herget (1948) Perhitungan Orbit Edwards Bros. Ann Arbor, MI

P. Herget (1965) Judul Artikel 'Komputasi orbit awal' astronot. J 70 1 Pegangan Kejadian 10.1086/109671 Pegangan Kejadian 1965AJ. 70. 1H

N.J. Higham (2002) Akurasi dan Stabilitas Algoritma Numerik Edisi Nomor 2 SIAM Philadelphia

P.S. Laplace (1966) Celestial Mechanics NumberInSeries Vol 1 Chelsea New York

B.G. Marsden (1985) Judul Artikel ‘Penentuan orbit awal: sudut pandang pragmatis’ astronot. J 50 1541–1547 Pegangan Kejadian 1985AJ. 90.1541M

More, J., Garbow, B. dan Hillstrom, K.: 1980, 'Panduan pengguna untuk MINPACK-1', Argonne Nat. Laboratorium. Rep. ANL-80-74, Argonne, Sakit.

H.C. Plummer (1960) An Introductory Treatise on Dynamical Astronomy Dover New York 76–77

W.H. Tekan S.A. Teukolsky W.T. Vetterling B.P. Flannery (1996) Resep Numerik dalam Edisi Fortran 90Nomor 2 Universitas Cambridge tekan Cambridge 1292–1293

L.G. Taff (1985) Celestial Mechanics Wiley New York

Zadunaisky, P., dan Peryera, V.: 1965, 'Pada konvergensi dan presisi dari proses koreksi diferensial yang berurutan', Dalam: Prok. Federasi Internasional untuk Simposium Pemrosesan Informasi, 1965, New York, hlm. 488–489.


Isi

Penentuan orbit memiliki sejarah panjang, dimulai dengan penemuan planet prasejarah dan upaya selanjutnya untuk memprediksi gerakan mereka. Johannes Kepler menggunakan pengamatan cermat Tycho Brahe tentang Mars untuk menyimpulkan bentuk elips dari orbitnya dan orientasinya di ruang angkasa, menurunkan tiga hukum gerak planetnya dalam prosesnya.

Metode matematika untuk penentuan orbit berasal dari publikasi edisi pertama Newton's . pada tahun 1687 Prinsip, yang memberikan metode untuk menemukan orbit benda yang mengikuti jalur parabola dari tiga pengamatan. [1] Ini digunakan oleh Edmund Halley untuk menetapkan orbit berbagai komet, termasuk yang menyandang namanya. Metode pendekatan berurutan Newton diformalkan menjadi metode analitik oleh Euler pada tahun 1744, yang karyanya kemudian digeneralisasikan ke orbit elips dan hiperbolik oleh Lambert pada tahun 1761–1777.

Tonggak lain dalam penentuan orbit adalah bantuan Carl Friedrich Gauss dalam "pemulihan" planet kerdil Ceres pada tahun 1801. Metode Gauss hanya dapat menggunakan tiga pengamatan (dalam bentuk koordinat langit) untuk menemukan enam elemen orbital yang sepenuhnya menggambarkan sebuah orbit. Teori penentuan orbit kemudian dikembangkan hingga saat ini diterapkan pada penerima GPS serta pelacakan dan katalogisasi planet minor yang baru diamati.

Untuk menentukan orbit yang tidak diketahui dari suatu benda, beberapa pengamatan gerakannya terhadap waktu diperlukan. Dalam astronomi modern awal, satu-satunya data pengamatan yang tersedia untuk benda-benda langit adalah kenaikan dan deklinasi yang tepat, yang diperoleh dengan mengamati benda itu ketika bergerak dalam busur pengamatannya, relatif terhadap bintang-bintang tetap, menggunakan teleskop optik. Ini sesuai dengan mengetahui arah relatif objek di ruang angkasa, diukur dari pengamat, tetapi tanpa pengetahuan tentang jarak objek, yaitu pengukuran yang dihasilkan hanya berisi informasi arah, seperti vektor satuan.

Dengan radar, pengukuran jarak relatif (dengan waktu gema radar) dan pengukuran kecepatan relatif (dengan mengukur efek Doppler dari gema radar) dimungkinkan menggunakan teleskop radio. Namun, kekuatan sinyal yang dikembalikan dari radar menurun dengan cepat, sebagai kebalikan dari kekuatan keempat jangkauan ke objek. Ini umumnya membatasi pengamatan radar pada objek yang relatif dekat dengan Bumi, seperti satelit buatan dan objek Dekat Bumi. Lubang yang lebih besar memungkinkan pelacakan transponder pada pesawat ruang angkasa antarplanet di seluruh tata surya, dan radar astronomi benda-benda alam.

Berbagai badan antariksa dan penyedia komersial mengoperasikan jaringan pelacakan untuk menyediakan pengamatan ini. Lihat Kategori:Jaringan Luar Angkasa Dalam untuk daftar sebagian. Pelacakan satelit berbasis ruang angkasa juga dilakukan secara teratur. Lihat Daftar teleskop radio#Space-based dan Space Network.

Penentuan orbit harus memperhitungkan bahwa gerakan benda langit yang tampak dipengaruhi oleh gerakan pengamat itu sendiri. Misalnya, seorang pengamat di Bumi yang melacak asteroid harus memperhitungkan gerakan Bumi mengelilingi Matahari, rotasi Bumi, dan garis lintang dan bujur setempat, karena ini mempengaruhi posisi benda yang tampak.

Pengamatan utama adalah bahwa (untuk perkiraan yang dekat) semua objek bergerak dalam orbit yang berbentuk kerucut, dengan objek yang menarik (seperti Matahari atau Bumi) di fokus utama, dan bahwa orbitnya terletak pada bidang yang tetap. Vektor yang ditarik dari benda yang menarik ke benda pada titik waktu yang berbeda semuanya akan terletak pada bidang orbit.

Jika posisi dan kecepatan relatif terhadap pengamat tersedia (seperti halnya dengan pengamatan radar), data pengamatan ini dapat disesuaikan dengan posisi dan kecepatan yang diketahui dari pengamat relatif terhadap benda yang menarik pada saat pengamatan. Ini menghasilkan posisi dan kecepatan terhadap benda yang menarik. Jika dua pengamatan seperti itu tersedia, bersama dengan perbedaan waktu di antara keduanya, orbitnya dapat ditentukan menggunakan metode Lambert, yang ditemukan pada abad ke-18. Lihat masalah Lambert untuk detailnya.

Bahkan jika tidak ada informasi jarak yang tersedia, orbit masih dapat ditentukan jika tiga atau lebih pengamatan dari kenaikan dan deklinasi tubuh telah dilakukan. Metode Gauss, yang terkenal pada tahun 1801 "pemulihan" planet minor pertama yang hilang, Ceres, kemudian dipoles.

Salah satu kegunaannya adalah dalam penentuan massa asteroid melalui metode dinamis. Dalam prosedur ini metode Gauss digunakan dua kali, baik sebelum dan sesudah interaksi dekat antara dua asteroid. Setelah kedua orbit ditentukan, massa salah satu atau kedua asteroid dapat ditentukan. [ kutipan diperlukan ]


Abstrak

Metode Laplace adalah metode khas perhitungan orbit untuk busur pendek dalam model masalah dua benda. Jika pengukuran sudut seakurat 10 4 – 10 5 (2″ – 20″ ), maka oblateness Bumi harus dipertimbangkan dalam perhitungan. Dalam makalah ini, teori dan prosedur metode Laplace yang ditingkatkan diberikan bersama dengan contoh numerik. Selain komputasi orbit dengan beberapa pengukuran, metode yang dibahas dalam makalah ini merupakan cara yang efisien untuk meningkatkan akurasi komputasi orbit secara umum. Semakin bermanfaat semakin besar oblateness.


Keakuratan Metode Laplace untuk menentukan elemen orbit - Astronomi

program Qbasic
oleh Neil H. Jacoby,Jr.

Program Laplace.bas
Program LP3SCG.bas

Program-program ini, yang menerapkan prinsip-prinsip astrodinamika, menghitung orbit heliosentris dari objek apa pun di Tata Surya kita dengan tiga pengamatan kenaikan kanan, alfa, dan deklinasinya, delta, dan waktu pengamatan ini dalam hari Julian. Masing-masing pengamatan ini harus berjarak hampir sama dalam waktu sebanyak mungkin dan juga koordinat matahari harus pada waktu yang sama saat pengamatan dilakukan. Koordinat surya ini diperoleh dari Astronomical Almanak yang diterbitkan oleh U.S. Naval Observatory.

Koordinat matahari juga dapat diperoleh dengan menggunakan generator koordinat matahari (menerapkan prinsip-prinsip astrodinamika), yang penulis kembangkan dan masukkan ke dalam program Laplace-nya saat ini menggunakan tiga pengamatan. Ini berarti bahwa alih-alih memasukkan koordinat matahari yang sesuai ke dalam program untuk masing-masing dari tiga pengamatan, pengguna hanya perlu memasukkan tiga tanggal Julian (dalam hari untuk setiap pengamatan), yang memotong waktu input hampir setengahnya. Penulis menamakan program ini LP3SCG, yang dibahas di bagian metode Laplace laporan ini. Pengguna dipersilakan untuk mengunduh daftar program ini, LP3SCG, dengan mengklik Program LP3SCG.bas. Namun setelah pengguna mengunduh program ini, itu bukan program yang dapat dieksekusi. Agar LP3SCG.bas dapat dieksekusi, pengguna harus mengetikkan program LP3SCG yang diunduh ke komputernya menggunakan bahasa Q-basic. Penulis menguji program ini, LP3SCG, pada sejumlah orbit planet di Tata Surya kita dan akurasinya ditemukan sama baiknya dengan metode Laplace asli ketika koordinat matahari (seperti yang diperoleh dari The Astronomical Almanac) dimasukkan ke dalam Laplace program tanpa generator koordinat surya.

Dalam semua program penentuan orbit ini, elevasi kanan objek yang diamati, alfa, dan deklinasinya, delta semuanya didasarkan pada sistem koordinat ekuator bumi serta koordinat matahari, X, Y dan Z sedangkan sudut orientasi i, Node dan Omega dari orbit objek yang diamati semuanya didasarkan pada sistem koordinat ekliptika bumi. Pengguna semua program penentuan orbit ini harus selalu ingat bahwa karena presesi bumi, khatulistiwa dan ekuinoks berubah seiring waktu. Presesi bumi ini dikenal sebagai presesi umum bumi dalam garis bujur sepanjang ekliptika bumi dan lajunya adalah 1,397 derajat per abad Julian. Oleh karena itu, kenaikan dan deklinasi objek yang mengacu pada ekuator dan ekuinoks tanggal tertentu harus sesuai dengan koordinat matahari X,Y,Z yang mengacu pada ekuator dan ekuinoks yang sama pada tanggal tersebut.

Jika orbit objek adalah geosentris, maka alfa, delta, X, Y, Z, dan sudut orientasi i, Node, dan omega semuanya didasarkan pada sistem koordinat ekuator bumi. Tentu saja, sumbu x selalu menunjuk ke arah vernal equinox baik di ekuator maupun sistem koordinat ekliptika. Dalam hal ini, waktu pengamatan kemudian diukur dalam menit. Prinsip astrodinamika yang sama berlaku dalam kasus ini.

Kembali ke kasus heliosentris, waktu dari masing-masing pengamatan ini harus ditentukan dan satuannya dalam hari. Keluaran dari program ini adalah elemen orbital yaitu a,sumbu semi mayor, e , eksentrisitas orbit dan sudut orientasi yaitu ,i, inklinasi orbit terhadap bidang ekliptika,node menaik OMEGA, dan argumen perihelion, omega. Elemen terakhir, T, yang merupakan waktu dari epoch terakhir tidak dihitung dalam program ini tetapi akan ditambahkan kemudian. Interval waktu antara masing-masing dari tiga pengamatan harus cukup kecil untuk memungkinkan penggunaan deret f dan g sehingga meminimalkan kesalahan pemotongan tetapi cukup besar untuk penentuan orbit yang akurat.

Selanjutnya input, yang diminta oleh program ini kepada pengguna, adalah tebakan awal yang cerdas untuk r, yang merupakan jarak dalam satuan astronomi (a.u.) dari matahari ke objek yang diamati. Nilai akhir untuk r ditentukan dari metode iterasi Newton dimana delta(r) adalah koreksi terhadap r dalam metode Laplace. Iterasi ini berlanjut sampai ABS(delta(r)) kurang dari atau sama dengan eps, dimana eps adalah toleransi atau batas konvergensi. Biasanya eps kurang dari atau sama dengan 0,000001 a.u., yang harus ditentukan pengguna. Pada baris input yang sama, pengguna juga harus menentukan eps2 yang merupakan toleransi (dalam derajat) untuk representasi pengamatan alfa dan delta. Biasanya eps2 ditentukan sama dengan .00001 derajat alfa dan delta yang sebenarnya. eps2 digunakan dalam bagian koreksi diferensial Leuschner dari program ini menggunakan tiga pengamatan dan satu untuk lima pengamatan.

Terakhir, program meminta pengguna untuk menentukan jumlah maksimum iterasi, mis. imax, dan mu, di mana mu didefinisikan sebagai rasio massa matahari ditambah objek yang diamati dengan massa matahari. Karena massa benda yang diamati, katakanlah asteroid atau komet, dapat diabaikan dibandingkan dengan massa matahari, maka mu dapat dianggap sama dengan 1,0. Dalam praktiknya, yang terbaik adalah mengatur imax = 10.

Tebakan cerdas untuk r dapat ditemukan baik secara grafis atau sebagai berikut. Pertama, sebagian besar objek yang menjadi perhatian kita di Tata Surya kita adalah asteroid yang terletak di antara orbit Mars dan Jupiter, di mana r berkisar antara 1,52 a.u. dan 5,23 a.u. dari matahari kira-kira. Kedua, selama eksentrisitas orbit asteroid yang diamati tidak terlalu besar, maka r dapat didekati dengan mengetahui periode sinodik asteroid, yang dapat diamati atau didekati dari pengamatan. Periode sinodik didefinisikan sebagai interval waktu antara dua konjungsi berturut-turut dari asteroid yang diamati relatif terhadap latar belakang bintang yang sama seperti yang diamati dari bumi. Dari mengetahui periode sinodik ini, periode sidereal asteroid yang diamati dapat dihitung dari rumus berikut. Pertama, misalkan E = 1 tahun, periode sidereal bumi. Kemudian misalkan Psy = periode sinodik asteroid yang diamati, dalam tahun. Oleh karena itu periode sidereal asteroid yang diamati, P, ditemukan dari P = Psy/(Psy-1), di mana P dalam tahun. Kemudian mengetahui periode sidereal asteroid yang diamati, r kemudian dapat didekati dengan menerapkan Hukum Ketiga Kepler yaitu P^2 = a^3, di mana P dalam tahun dan a adalah sumbu semi mayor dalam a.u.

Program ini menggunakan metode penentuan orbit awal Laplace dan metode koreksi diferensial Leuschner. Metode-metode ini menggunakan deret f dan g, (salah satu konsep dasar dalam astrodinamika), yang dibawa hingga dan termasuk turunan keenam kalinya. Keluaran akhir dari semua program penentuan orbit ini adalah elemen orbit awal dan elemen akhir setelah koreksi diferensial Leuschner selesai. Jika tiga atau lima pengamatan baik, maka konvergensi dalam koreksi diferensial Leuschner, harus mencapai toleransi yang diinginkan dalam katakanlah 0,0001 derajat alfa dan delta yang diamati aktual dan dalam sepuluh iterasi.

Jika deklinasi objek yang diamati negatif, derajat, menit, dan detik semuanya harus dimasukkan sebagai angka negatif.

Program ini bekerja dengan cara yang sama (menerapkan prinsip-prinsip dasar astrodinamika) seperti tiga pengamatan-Laplace, kecuali lima pengamatan, bukan tiga harus dimasukkan serta koordinat matahari yang diperoleh pada saat yang sama pengamatan dilakukan. Seperti sebelumnya, koordinat matahari ini diperoleh dari Astronomical Almanak.
Ditemukan bahwa lima pengamatan bukannya tiga biasa, akurasi yang lebih besar secara keseluruhan diperoleh dalam menentukan elemen orbital, yaitu, sumbu semi mayor, eksentrisitas, kemiringan, node menaik, dan omega, argumen perihelion, untuk orbit eksentrisitas rendah hingga sedang. Selain itu, program lima pengamatan ini menghasilkan T, waktu lintasan perihelion terakhir. Seperti sebelumnya, sudut orientasi, kemiringan i, sudut simpul menaik, yang disebut simpul, dan omega, argumen perihelion, semuanya didasarkan pada sistem koordinat ekliptika bumi.

Temuan yang sangat penting sejauh ini, dalam penelitian ini tentang penggunaan metode penentuan orbit Laplace dan Leuschner (dalam astrodinamika), adalah bahwa masing-masing dari tiga atau lima pengamatan harus dipilih sedemikian rupa sehingga kenaikan dan deklinasi objek yang tepat hampir sama. spasi sebanyak mungkin dalam alfa dan delta serta waktu pengamatan mereka untuk akurasi terbaik. Ditemukan bahwa jika dua dari tiga atau lima pengamatan alfa dan delta ditempatkan terlalu berdekatan, penentuan elemen orbital yang buruk dihasilkan dan tidak ada konvergensi dalam koreksi diferensial. Situasi yang tidak menguntungkan ini dapat terjadi jika dua atau lebih pengamatan berada pada atau sangat dekat dengan titik ketika objek yang diamati memulai atau mengakhiri gerakan mundur seperti yang diamati dari bumi. Oleh karena itu yang terbaik adalah memilih pengamatan selama waktu ketika objek yang diamati benar-benar dalam gerakan langsung atau mundur dan bukan pada awal atau akhir gerakan mundur. Juga ditemukan bahwa penentuan orbit heliosentris paling akurat dihasilkan ketika interval waktu antara setiap pengamatan berturut-turut adalah 15 sampai 25 hari untuk asteroid antara orbit Mars dan Jupiter. Untuk objek heliosentris yang orbitnya berada di luar orbit Jupiter, interval waktu ini harus berkisar antara 25 hingga 50 hari.

Temuan lain yang sangat penting dalam penelitian ini adalah bahwa penentuan paling akurat dari unsur-unsur orbital terjadi ketika pengamatan tengah dari tiga dan lima pengamatan berada pada atau sangat dekat dengan titik oposisi objek, yaitu sudut elongasinya adalah 180 derajat. (Sudut elongasi didefinisikan sebagai sudut yang diukur dari arah ke matahari ke arah objek yang diamati dari bumi.) Ini adalah temuan untuk orbit heliosentris eksentrisitas rendah hingga rendah-sedang. Juga pada atau di dekat titik oposisi, kenaikan dan deklinasi kanan objek berubah paling cepat, di mana gerakan objek hampir tegak lurus terhadap garis pandang. Dalam kasus orbit eksentrisitas tinggi, seperti orbit komet, tiga atau lima pengamatan harus dipilih sedemikian rupa sehingga perubahan komet dalam kenaikan dan deklinasi maksimum. Namun, perubahan maksimum ini mungkin tidak harus berada di atau dekat titik oposisi.

Saya melakukan penelitian lebih lanjut dalam menentukan elemen orbit komet menggunakan tiga dan lima pengamatan kenaikan dan deklinasi kanan dan hasil penting dari penelitian ini adalah bahwa dengan menggunakan tiga pengamatan, bukan lima memberikan penentuan unsur-unsur komet yang jauh lebih akurat. orbit. Alasan untuk ini adalah bahwa tidak hanya ada konvergensi yang cepat dalam sepuluh iterasi dalam koreksi diferensial terhadap toleransi yang diinginkan, tetapi juga prediksi yang sangat akurat tentang kenaikan dan deklinasi komet di waktu mendatang. Akurasi prediksi ini ditemukan berada dalam 0,01 derajat dari kenaikan dan deklinasi komet yang sebenarnya di hampir semua kasus.

Di sisi lain, ketika lima pengamatan kenaikan dan deklinasi kanan digunakan, hasil yang buruk diperoleh karena tidak ada konvergensi dalam koreksi diferensial tidak peduli berapa banyak iterasi yang diizinkan oleh pengguna. Rupanya, dua pengamatan tambahan merusak hasil akhir karena eksentrisitas orbit komet yang sangat tinggi. Hasil yang tidak menguntungkan ini terjadi di hampir semua kasus. Oleh karena itu sangat disarankan agar pengguna menggunakan tiga pengamatan dan bukan lima dalam menentukan elemen orbit eksentrisitas yang sangat tinggi dari komet.

Orbit Komet Hale-Bopp dan Komet S4 Linear digunakan dalam penelitian ini karena orbitnya memiliki eksentrisitas yang sangat tinggi, yaitu 0,9 < e < 1,0.

Akhirnya dalam kasus orbit mulai dari orbit heliosentris eksentrisitas rendah hingga tinggi, ketiga atau lima pengamatan objek harus memiliki sudut elongasi lebih besar dari 120 derajat timur matahari dan lebih besar dari 120 derajat barat matahari untuk visibilitas terbaik. dari objek yang diamati.

Program ini menghitung kenaikan kanan objek heliosentris, alfa, dan deklinasi, delta, mengingat elemen orbital objek, akses semi-utama a, eksentrisitas e, kemiringan i, sudut node menaik, yang disebut node, argumen dari perihelion, dan anomali rata-rata, M, pada saat pengamatan referensi. Sudut i, Node, dan omega semuanya dinyatakan dalam derajat. Jika menggunakan 3 program observasi, maka observasi acuan adalah observasi kedua, dan jika menggunakan 5 program observasi, observasi referensi adalah observasi ke-3. Waktu yang diinginkan untuk pengamatan di masa depan harus ditentukan dan koordinat matahari pada waktu yang diinginkan ini juga harus ditentukan. Seperti sebelumnya, koordinat matahari diperoleh dari Astronomical Almanak. Waktu yang diinginkan untuk pengamatan yang akan datang diukur dari waktu pengamatan kedua jika digunakan 3 pengamatan dan jika digunakan 5 pengamatan, waktu yang diinginkan ini diukur dari waktu pengamatan ke-3. Seperti sebelumnya, waktu diukur dalam hari Julian.
Pengguna program ini, harus ingat, bahwa sudut orientasi, i, simpul, dan omega, didasarkan pada sistem koordinat ekliptika dan kenaikan dan deklinasi kanan didasarkan pada sistem koordinat ekuator.

Program Kepler.bas
Program ini memecahkan persamaan Kepler ketika Anomali Mean,M, dan eksentrisitas, e, diberikan dan kita perlu menyelesaikan anomali eksentrik,E. E, diselesaikan dengan menerapkan metode iterasi Newton. Dalam kebanyakan kasus, M dan e diberikan dan bukan anomali eksentrik,E.

Persamaan Kepler, M=E-e*sinE, juga digunakan dalam bentuk tertutup dari deret f dan g. Persamaan Kepler berguna ketika seseorang diberikan elemen orbital dan seseorang perlu memprediksi objek, kenaikan dan deklinasi objek pada waktu tertentu di masa depan atau masa lalu.

Saat menjalankan program ini, program akan meminta pengguna untuk memasukkan eksentrisitas, e, dan anomali rata-rata M dalam radian, dan batas konvergensi atau toleransi yang ditentukan, eps. Biasanya eps adalah 0,000001 radian. Jika e antara 0 dan 1 pengguna akan diarahkan ke bagian elips program, dan jika e lebih besar dari 1 pengguna akan diarahkan ke bagian hiperbolik program.

Kasus orbit parabola, di mana e = 1 dan sumbu semi-mayor a adalah tak terhingga, tidak disajikan di sini karena jenis orbit ini hanya ada dalam teori dan tidak dalam kenyataan.

Dalam semua program penentuan orbit heliosentris ini, yang saya kembangkan, perlu dicatat bahwa program ini hanya melibatkan orbit Keplerian (dua benda) dan tidak ada gangguan yang disertakan. Elemen orbital dan ephemeris dari objek heliosentris, yang diberikan dalam Astronomical Almanak, ditentukan dengan memasukkan gangguan planet terdekat di tata surya kita. Oleh karena itu orbit benda tersebut bukan Keplerian. Bahkan dengan pendekatan Keplerian ini, bagaimanapun, ditemukan bahwa selama pengamatannya baik, hasil dari semua penentuan orbit dan program prediksi posisi alfa, delta ini berkisar dari baik hingga sangat baik. Namun jika ephemeris objek yang sangat akurat diperlukan, gangguan planet pada objek ini harus disertakan.


Edisi pertama, edisi kedua, tetapi yang pertama berisi Suplemen, tentang penemuan metode kuadrat terkecil, "mobil analisis statistik modern" dan asal usul "perselisihan prioritas paling terkenal dalam sejarah statistik" (Stigler ). “Pada tahun 1805 Legendre menerbitkan karya yang dengannya dia terutama dikenal dalam sejarah statistik, Metode Nouvelles pour la détermination des orbites des comtes. Pada delapan puluh halaman, karya ini menjadi buku tipis, tetapi memperoleh tambahan lima puluh lima halaman (dan halaman judul yang dicetak ulang [yaitu, edisi yang ditawarkan]) pada Januari 1806. Untuk kejelasan eksposisi, presentasinya tidak tertandingi, itu harus dihitung sebagai salah satu pengenalan paling jelas dan paling elegan dari metode statistik baru dalam sejarah statistik. Faktanya, ahli statistik di abad dan tiga perempat berikutnya telah menemukan begitu sedikit untuk memperbaikinya … penjelasan tentang metode ini hampir bisa berasal dari teks dasar masa kini” (ibid.). “Kemajuan besar dalam astronomi matematika yang dibuat selama tahun-tahun awal abad kesembilan belas tidak sedikit disebabkan oleh pengembangan metode kuadrat terkecil. Metode yang sama adalah dasar untuk kalkulus kesalahan pengamatan yang sekarang menempati tempat yang sangat penting dalam studi ilmiah masalah sosial, ekonomi, biologis, dan psikologis. Gauss mengatakan dalam karyanya tentang Teori Gerakan Benda-Benda Surgawi (1809) bahwa dia telah menggunakan prinsip ini sejak tahun 1795 tetapi prinsip ini pertama kali diterbitkan oleh Legendre. The first statement of the method appeared as an appendix entitled “Sur la méthode des moindres quarrés” in Legendre’s Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes , Paris 1805” (Wolberg, ‘The Method of Least Squares,’ in Designing Quantitative Experiments, 2010). This is a rare book on the market, ABPC/RBH listing just four copies of either issue since 1941.

“[By] 1800 the principle of combining observational equations had evolved, through work of [Tobias] Mayer and [Pierre-Simon] Laplace, to produce a convenient ad hoc procedure for quite general situations. We have also seen how the idea of starting with a mathematical criterion had led, in work of [Roger] Boscovich and Laplace, to an elegant solution suitable for simple linear relationships involving only two unknowns. The first of these approaches developed through problems in astronomy the second was (at least in these early years) exclusively employed in connection with attempts to determine the figure of the earth. These two lines came together in the work of a man who, like Laplace, was an excellent mathematician working on problems in both arenas − Adrien Marie Legendre.

“Legendre came to deal with empirical problems in astronomy and geodesy at a time when [methods] had been developed separately in the two fields. It was also a time when a half-century's successful use of these methods had seen a change in the view scientists took of them − from Euler’s early belief that combination of observations made under different conditions would be detrimental to the later view of Laplace that such combination was essential to the comparison of theory and experience. Legendre brought a fresh view to these problems and it was Legendre, and not Laplace, who took the next important step.

“Legendre did not hit upon the idea of least squares in his first exposure to observational data. From 1792 on he was associated with the French commission charged with measuring the length of a meridian quadrant (the distance from the equator to the North Pole) through Paris. One of the major projects initiated by the National Convention in the early years after the French Revolution had been the decision in 1792 to change the ancient system of measurement by introducing the metric system as a new order, toppling existing standards of measurement in an action symbolic of the French Revolution itself. The basis of the new system was to be the meter, defined to be 1/10,000,000 of a meridian quadrant. It remained for French science to come up with a new determination of the length of this arc. In keeping with the nationalism that inspired the enterprise, the determination was to be based only on new measurements made on French lands. To this end an arc of nearly 10', extending from Montjouy (near Barcelona) in the south to Dunkirk in the north, was measured in 1795. By 1799 the complex task of reducing the multitude of angular measurements to arc lengths had been completed by J. B. J. Delambre and P. F. A. Mechain … In early 1799, Delambre published an extensive discussion of the theoretical results underlying the reduction of the raw data on this arc. This volume is prefaced by a short memoir by Legendre that is dated 9 Nivose, an VII (30 December 1798) and indicates that Legendre did not have the method of least squares at that time …

“The occasion for Legendre’s reconsideration of observational equations, and for the appearance of the method of least squares, was the preparation in 1805 of a memoir on the determination of cometary orbits. The memoir is a scant seventy-one pages (excluding the appendix) and, aside from a few brief remarks at the end of the preface, the method of least squares makes no appearance before page 64. Even this first mention of least squares seems to be an afterthought because, after presenting an arbitrary solution to five linear equations in four unknowns (one that assumed that two equations held exactly and two of the unknowns were zero), Legendre wrote that the resulting errors were of a size “quite tolerable in the theory of comets. But it is possible to reduce them further by seeking the minimum of the sum of the squares of the quantities E', E", E"'” (Nouvelles méthodes, hal. 64). He then reworked the solution in line with this principle. It seems plausible that Legendre hit on the method of least squares while his memoir was in the later stages of preparation, a guess that is consistent with the fact that the method is not employed earlier in the memoir, despite several opportunities. It is clear, however, that Legendre immediately realized the method’s potential and that it was not merely applications to the orbits of comets he had in mind. On pages 68 and 69 he explained the method in more detail (with the word minimum making five italicized appearances, an emphasis reflecting his apparent excitement), and the memoir is followed on pages 72-80 by the elegant appendix. The example that concludes the appendix reveals Legendre’s depth of understanding of his method (notwithstanding the lack of a formal probabilistic framework). It also suggests that it was because Legendre saw these problems of the orbits of comets as similar to those he had encountered in geodesy that he was inspired to introduce his principle and was able to abstract it from the particular problem he faced. Indeed, the example he chose to discuss was not just given as an illustration, it was a serious return to what must have been the most expensive set of data in France − the 1795 measurements of the French meridian arc from Montjouy to Dunkirk” (Stigler).

The appendix is dated 6 March 1805. Legendre states the principle of his method of “distributing the errors among the equations” on pp. 72-3: “Of all the principles that can be proposed for this purpose, I think there is none more general, more exact, or easier to apply, than that which we have used in this work it consists of making the sum of the squares of the errors a minimum. By this method, a kind of equilibrium is established among the errors which, since it prevents the extremes from dominating, is appropriate for revealing the state of the system which most nearly approaches the truth.”

“The clarity of the exposition no doubt contributed to the fact that the method met with almost immediate success. Before the year 1805 was over it had appeared in another book, Puissant’s Traite de geodesie and in August of the following year it was presented to a German audience by von Lindenau in von Zach’s astronomical journal, Monatliche Correspondenz. Ten years after Legendre's 1805 appendix, the method of least squares was a standard tool in astronomy and geodesy in France, Italy, and Prussia. By 1825 the same was true in England. The rapid geographic diffusion of the method and its quick acceptance in these two fields, almost to the exclusion of other methods, is a success story that has few parallels in the history of scientific method” (ibid.).

An unintended consequence of Legendre’s publication was a protracted priority dispute with Carl Friedrich Gauss, who claimed in 1809 that he had been using the method since 1795. In Theoria motus corporum coelestium (1809, Section 186), “Gauss writes: “Our principle, which we have made use of since the year 1795, has lately been published by Legendre in the work Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes, Paris, 1806, where several other properties of this principle have been explained, which, for the sake of brevity, we here omit.”

“The Theoria motus was originally written in German and completed in the autumn of 1806. In July 1806 Gauss had for some weeks at his disposal a copy of Legendre’s book before it was sent to Olbers for reviewing. It was not until 1807 that Gauss finally found a publisher, who, however, required that the manuscript should be translated into Latin. Printing began in 1807 and the book was published in 1809. Gauss had thus ample time to elaborate on the formulation of the relation of his version of the method of least squares to that of Legendre, if he had wished so.

“Gauss’s use of the expression “our principle” naturally angered Legendre who expressed his feelings in a letter to Gauss dated May 31, 1809. The original is in the Gauss archives at Gottingen it contains the following statement:

“It was with pleasure that I saw that in the course of your meditations you had hit on the same method which I had called Méthode des moindres quarrés in my memoir on comets. The idea for this method did not call for an effort of genius however, when I observe how imperfect and full of difficulties were the methods which had been employed previously with the same end in view, especially that of M. La Place, which you are justified in attacking, I confess to you that I do attach some value to this little find. I will therefore not conceal from you, Sir, that I felt some regret to see that in citing my memoir p. 221 you say principium nostrum quojam inde ab anno 1795 usi sumus etc. There is no discovery that one cannot claim for oneself by saying that one had found the same thing some years previously but if one does not supply the evidence by citing the place where one has published it, this assertion becomes pointless and serves only to do a disservice to the true author of the discovery.”

“It therefore became important for Gauss to get his claim of having used the method of least squares since 1795 corroborated. He wrote to Olbers in 1809 asking whether Olbers still remembered their discussions in 1803 and 1804 when Gauss had explained the method to him. In 1812 he again wrote to Olbers saying “Perhaps you will find an opportunity sometime, to attest publicly that I already stated the essential ideas to you at our first personal meeting in 1803.” In an 1816 paper Olbers attested that he remembered being told the basic principle in 1803.

In 1811 Laplace brought the matter of priority before Gauss, who answered that “I have used the method of least squares since the year 1795 and I find in my papers, that the month of June 1798 is the time when I reconciled it with the principle of the calculus of probabilities.” [In his Théorie analytique des probabilités (1812)] Laplace writes that Legendre was the first to publish the method, but that we owe Gauss the justice to observe that he had the same idea several years before, that he had used it regularly, and that he had communicated it to several astronomers” (Hald, pp. 394-5).

“The heat of the dispute never reached that of the Newton − Leibniz controversy, but it reached dramatic levels nonetheless. Legendre appended a semi-anonymous attack on Gauss to the 1820 version of his Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes, and Gauss solicited reluctant testimony from friends that he had told them of the method before 1805. A recent study of this and further evidence suggests that, although Gauss may well have been telling the truth about his prior use of the method, he was unsuccessful in whatever attempts he made to communicate it before 1805. In addition, there is no indication that he saw its great general potential before he learned of Legendre’s work. Legendre’s 1805 appendix, on the other hand, although it fell far short of Gauss's work in development, was a dramatic and clear proclamation of a general method by a man who had no doubt about its importance” (Stigler).

Nouvelles méthodes was first issued in 1805, and reissued in January 1806 with a reset title-page and a 55-page supplement. In the supplement Legendre makes some improvements to the methods he had introduced for determining the orbital elements of comets. When these methods had been applied to the observations by Alexis Bouvard of a comet that appeared in 1805 (now called 2P/Encke), Legendre had found that the elements were “not sufficiently exact”. He traced the problem to a coefficient in one of his equations which, if it happened to be very small (as it was for the observations relating to Bouvard’s comet), could lead to large errors in the calculation of the orbital elements. In the supplement he introduced a modification of his method which avoided this problem. In the second part of the supplement he applied his new method to Bouvard’s observations of a second comet that had appeared in 1805. Bouvard is best known for his prediction of the existence of a planet beyond Uranus, but he died before he could complete his investigations and the discovery of Neptune was made by Adams and Le Verrier.

“Legendre (born 18 September 1752, died 10 January 1833) was a mathematician of great breadth and originality. He was three years Laplace’s junior and succeeded Laplace successively as professor of mathematics at the École Militaire and the École Normale. Legendre’s best-known mathematical work was on elliptic integrals (he pioneered this area forty years before Abel and Jacobi), number theory (he discovered the law of quadratic reciprocity), and geometry (his Éléments de géométrie was among the most successful of such texts of the nineteenth century). In addition, he wrote important memoirs on the theory of gravitational attraction. He was a member of two French commissions, one that in 1787 geodetically joined the observatories at Paris and Greenwich and one that in 1795 measured the meridian arc from Barcelona to Dunkirk, the arc upon which the length of the meter was based. It is at the nexus of these latter works in theoretical and practical astronomy and geodesy that the method of least squares appeared” (Stigler).

Hald, A History of Mathematical Statistics from 1750 to 1930, 1998 Stigler, A History of Statistics, 1986 (see pp. 12-15, 55-61 & 145-6).

4to (266 x 212 mm), pp. [2] viii, 80 and 1 engraved plate 1-55 (supplement), uncut in original pink plain wrappers, very light sporring to a few leaves, overall a very fine and untouched copy.


Preliminary Orbit Determination – 2-Body Problem

When we are dealing with two bodies, we can determine their orbital paths exactly using a certain set of orbital elements. If you want to learn more about these orbital elements you can find my post on them here and how to use them to determine an orbital path here. If we have a certain set of orbital elements, assuming Keplerian motion, we can tell where the satellite was, is, and will be for all time. But what if we don’t have those orbital elements? That’s where orbit determination comes in.

First, let’s think of some cases where we wouldn’t have direct knowledge of the orbital elements. One case would be if our rocket had a malfunction and placed our satellite in the wrong orbit. Another would be if we were trying to track another countries spy satellite. A historical need for orbit determination, and one that let many of the earliest mathematical advances, was trying to determine the orbits of the other planets in our solar system.

Orbit Determination is a Big Topic

Now that we know there are many uses, both for past and present problems, is there one correct way to do orbit determination? Tidak.

There are hundreds of different orbit determination schemes. They differ based on the necessary inputs, the constraints of the problem, and the solving accuracy they provide. I could spend the next year just wring posts on orbit determination. Comparing and contrasting the different methods, deriving some, leaving others as vague ideas, and still have topics to talk about. It’s a large topic and the rest of this post will only scratch the surface of three extremely basic methods.

The three methods I’m highlighting are from section 3.7 of Battin’s Introduction to Astrodynamics.

Orbits from 3 Co-planar Positions

The first of the three methods requires us to have 3 co-planar position measurements in polar coordinates. That means we have r1,θ1,r2,θ2,r3, and θ3. We return to our equation of orbit we found in a prior post which is.

By appealing to angle difference identities we can transform our equation of orbit to the following

Let’s now introduce two variables P and Q that are defined as

Which lets us linearize our equation of orbit with

Through some algebraic manipulation we get the following

We have 3 unknowns in the above equation, p,P, and Q. This is why we need 3 different measurements. 3 equations, 3 unknowns, I leave determining the values for p,P, and Q up to a suitable method of your choosing. Once you have these three determining the eccentricity and ω are trivial. Hint think of using trig identities and come out with the following.

Orbit Determination with 3 Position Vectors (Gibb’s Method)

Before we began with 3 co-planar positions. But what if we are not in the same orbital plane as the object we are observing? This method is like the last method, just with vector algebra. Here, we have 3 position vectors, r1,r2, and r3. Because we are dealing with Keplerian orbits, those 3 measurements can be assumed to be to co-planar points. First calculate alpha and beta

We can now find the semi-latus rectum, p, using the following equation

Now in order to find the eccentricity lets take the cross product of n and e

Because we also know that e is normal to n we have the following relationship

Combining these last two relations we get

This is known as Gibb’s method and is often used as an initial orbit determination method. Once you know the rough orbital elements you can narrow down your solution space and use this as your initial estimate in more powerful iterative orbit determination algorithms.

Approximate Orbit from Three Position Fixes

While the above two methods will give us the exact orbital elements if we have perfect inputs, they both fall victim to increased numerical errors durring calculation if the angles between the measurements are small. Because we’ve only been looking at 3 position vectors, we have been using geometry to determine the orbital elements. If we begin to also record the times at which we take our measurements, we can also use our understandings of the dynamics of the system to improve our estimates of the system.

Now lets say we have measurement vectors r1,r2,r3 and the time of respective measurement t1,t2,and t3. These 6 pieces of information can be related by a fifth order power series expansion.

Take it’s derivative to get

one more derivative where A is acceleration

Note that we had 6 pieces of information and we now have 6 unknown coefficients from a0 to a5.

Let’s also define a set of time intervals just to make our equations a bit tidier

Now, I’m going to give you the next step and it might not be obvious where we are going with this so take a moment to stop and think about what it looks like we’re doing. replace t in the power series successively by -τ3,0, and τ1. You should get the following 7 equations.

Note: It reminded me of taking a finite difference. Namely a central difference. We’re finding the velocity at the second point by using the time it took to go from the first point to the third point and incorporating the system dynamics.

If we solve this system of equations for v2 we get the following

Now, this looks promising. We get v2 and by combining that with r2 we can pull out the orbital elements in the classical way. Unfortunately, this solution happens to have a problem. It doesn’t work when τ1 = τ3. Try plugging those in and see what you get! This mea ns that we cant use this method with regularly spaced measurements. Additionally because we live in the real world of numerical accuracy, any measurements that are nearly regularly spaced will suffer from large computational error. I haven’t done a sensitivity analysis but I would expect this error to grow exponentially as we get closer to regularly spaced measurements.

Luckily for us, Samuel Herrick determined a work around. This article is already quire long so I will just present it here and leave the derivation to the determined reader (The skeleton of the derivation is presented on Page 135 of Battin’s Intro to Astrodynamics if you get stuck).

Again once we have v2 we can use it with r2 to determine the orbital elements using formulas we derived here.

How we get these Measurements?

Radar stations on the ground obtaining the position vectors of a satellite in orbit

Much like how this post is a very basic introduction to orbit determination, I will only briefly be covering the most common way of how we get these measurements from Earth-based observatories. We can ping the satellite with an electromagnetic wave and measure how long it takes to get there and come back. We can estimate the velocity of the signal in the earth’s atmosphere and the vacuum of space so we can figure out the range rather well. If we have two ground stations that receive the same message, we can determine the satellites relative location by looking at the difference in the ping’s time of flight. When done with a laser this is called laser range-finding and when done with radio waves it’s called radar.

Want more Gerehses…

If you want to receive the weekly Gereshes blog post directly to your email every Monday morning you can sign up for the newsletter here!

If you can’t wait for next weeks post and want some more Gereshes I suggest